Magst du lieber ein Video dazu schauen? Im folgenden Video erkläre ich dir ganz einfach, wie du Wurzeln ableiten kannst. 😊
Wurzeln ableiten – einfach erklärt!
Es ist sehr wichtig, das Ableiten von Wurzeln zu beherrschen. Aber keine Sorge, ich erkläre dir, wie es funktioniert, einfach und verständlich! Hier geht es darum, eine Wurzelfunktion so umzuformen, dass du die Ableitung berechnen kannst. Das ist gar nicht so schwer, wenn du ein paar einfache Regeln beachtest!
Wie leite ich Wurzeln ab? – Die wichtigsten Schritte
Das Ableiten von Wurzeln erfolgt in drei einfachen Schritten. Wenn du die richtigen Schritte befolgst, wird es ganz einfach:
Schritt 1: Wurzel als Potenz umschreiben
Wenn du eine Wurzel hast, schreib sie zuerst als Potenz um. Beispiel:
√x wird zu x1/2
√x3 wird zu x3/2
usw.Das ist der erste Schritt. Jetzt hast du die Funktion als Potenz und kannst die Potenzregel anwenden.
Schritt 2: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
Die Ableitung von xn ist n · xn-1
Das bedeutet: Du multiplizierst den Exponenten mit der Funktion und ziehst dann 1 vom Exponenten ab. Zum Beispiel:
f(x) = x1/2 → f'(x) = 1/2 · x-1/2
Das Ergebnis ist die Ableitung der Funktion. Du kannst es auch als Wurzel schreiben:
f'(x) = 1/2 · 1/√x
Schritt 3: Das Ergebnis vereinfachen
Manchmal ist das Ergebnis noch nicht vollständig vereinfacht. In dem Beispiel oben kannst du die Ableitung so schreiben:
f'(x) = 1/(2√x)
Das ist die vereinfachte Form der Ableitung.
Was passiert bei komplizierteren Wurzeln?
Bei manchen Funktionen hast du mehr als nur x unter der Wurzel, zum Beispiel:
f(x) = √(2x + 5)
In solchen Fällen musst du auch die Kettenregel anwenden. Das bedeutet, du musst zusätzlich zur Potenzregel auch den inneren Term ableiten. Sieh dir das Beispiel an:
f(x) = (2x + 5)1/2
f'(x) = 1/2 · (2x + 5)-1/2 · 2
Das vereinfacht sich zu:
f'(x) = 1/√(2x + 5)
Das war die Anwendung der Kettenregel. Du hast jetzt nicht nur den Exponenten der Potenz beachtet, sondern auch den inneren Term (2x + 5) abgeleitet.
Zusammenfassung
Beim Wurzeln ableiten gehst du folgendermaßen vor:
- Schreibe die Wurzel als Potenz um.
- Wende die Potenzregel an.
- Vereinfache das Ergebnis.
Mit der Übung wirst du merken, dass das Ableiten von Wurzeln ganz einfach ist!
Einfache Übungen mit Lösungen zum Wurzeln ableiten
Übung 1: Leite die Funktion f(x) = √x ab.
Lösung: Um die Ableitung der Funktion f(x) = √x zu berechnen, nutzen wir die Kettenregel. Wir können √x als x1/2 schreiben, also:
f'(x) = 1/2 · x-1/2 = 1/(2√x).
Übung 2: Bestimme die Ableitung von f(x) = √(x2).
Lösung: Wir haben f(x) = √(x2), was gleichbedeutend ist mit f(x) = (x2)1/2. Um die Ableitung zu berechnen, wenden wir die Kettenregel an:
f'(x) = 1/2 · (x2)-1/2 · 2x = x/√(x2).
Übung 3: Bestimme die Ableitung von f(x) = 2√x.
Lösung: Hier haben wir f(x) = 2√x, das ist eine konstante Zahl (2) mal √x. Wir wenden erneut die Kettenregel an:
f'(x) = 2 · (1/2) · x-1/2 = 1/√x.
Übung 4: Berechne die Ableitung von f(x) = √(3x + 1).
Lösung: Wir haben f(x) = √(3x + 1). Zuerst wenden wir die Kettenregel an. Schreibe die Funktion als (3x + 1)1/2.
f'(x) = 1/2 · (3x + 1)-1/2 · 3 = 3/(2√(3x + 1)).
Übung 5: Leite f(x) = √(x3 + 5x) ab.
Lösung: Wir haben f(x) = √(x3 + 5x). Zuerst schreibe es als (x3 + 5x)1/2. Die Kettenregel ergibt:
f'(x) = 1/2 · (x3 + 5x)-1/2 · (3x2 + 5).
Schwierige Übungen mit Lösungen zum Wurzeln ableiten
Übung 6: Berechne die Ableitung von f(x) = √(4x2 + 3x + 1).
Lösung: Wir haben f(x) = √(4x2 + 3x + 1). Zuerst schreiben wir es als (4x2 + 3x + 1)1/2 und wenden dann die Kettenregel an:
f'(x) = 1/2 · (4x2 + 3x + 1)-1/2 · (8x + 3).
Übung 7: Bestimme die Ableitung von f(x) = 5√(x4 + 2x).
Lösung: Wir haben f(x) = 5√(x4 + 2x). Zuerst wenden wir die Kettenregel an, indem wir die Funktion als (x4 + 2x)1/2 schreiben:
f'(x) = 5 · 1/2 · (x4 + 2x)-1/2 · (4x3 + 2).
Übung 8: Leite die Funktion f(x) = √(2x2 - 5x + 4) ab.
Lösung: Wir haben f(x) = √(2x2 - 5x + 4). Die Kettenregel ergibt:
f'(x) = 1/2 · (2x2 - 5x + 4)-1/2 · (4x - 5).
Übung 9: Berechne die Ableitung von f(x) = √(3x3 + x2 + 2x).
Lösung: Wir haben f(x) = √(3x3 + x2 + 2x). Die Kettenregel ergibt:
f'(x) = 1/2 · (3x3 + x2 + 2x)-1/2 · (9x2 + 2x + 2).
Übung 10: Leite f(x) = √(x2 + 2x + 1) ab.
Lösung: Zuerst erkennen wir, dass x2 + 2x + 1 = (x + 1)2. Daher können wir f(x) als √((x + 1)2) schreiben. Daraus ergibt sich:
f'(x) = 1/2 · (x + 1)-1 · 2 = (x + 1)/√(x2 + 2x + 1).
