Um besser zu verstehen, wofür die Ableitungsfunktion eigentlich steht, empfehle ich dir im folgenden Video zu wiederholen, wie man eine Ableitungsfunktion zeichnet 😊
Steigung einer Funktion berechnen – einfach erklärt!
Die Steigung einer Funktion beschreibt, wie stark und in welche Richtung eine Funktion an einer bestimmten Stelle ansteigt oder abfällt. Stell dir vor, du fährst auf einer Bergstraße: Wenn der Weg steil bergauf geht, ist die Steigung hoch. Ist die Straße flach, ist die Steigung niedrig oder null.
Die Ableitung steht für die Steigung
In der Mathematik verwenden wir die Ableitung, um die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu berechnen. Die Ableitung zeigt uns, wie schnell sich der Funktionswert ändert, wenn sich der x-Wert verändert. Anders gesagt: Die Ableitung gibt die Steigung der Funktion an jeder beliebigen Stelle an.
Beispiel: Steigung einer Geraden (lineare Funktion)
Bei einer Geraden ist die Berechnung der Steigung einfach. Man muss eigentlich nichts berechnen, die Steigung ist nämlich immer die Zahl vor dem x.
Beispiel: Steigung einer nicht-linearen Funktion
Handelt es sich um eine nicht-lineare Funktion (keine Gerade), so brauchen wir für die Steigung in jedem Fall die Ableitung, da wir hier die Steigung nicht auf den ersten Blick ablesen können.
Beispiel 1: Berechne die Steigung der Funktion f(x) = x2 bei x = 1.
Schritt 1: Berechne die Ableitung der Funktion. Für f(x) = x2 ist die Ableitung f'(x) = 2x.
Schritt 2: Setze einen bestimmten Punkt ein, um die Steigung an dieser Stelle zu finden.
Beispielsweise an der Stelle x = 1: f'(1) = 2 × 1 = 2.
Das Ergebnis zeigt die Steigung der Funktion f(x) = x2 an der Stelle x = 1.
Zusammenfassung
Die Steigung einer Funktion zeigt an, wie stark die Funktion an einer bestimmten Stelle ansteigt oder abfällt. Bei geraden Funktionen kann man die Steigung ganz einfach ablesen, während bei Kurven die Ableitung der Funktion die Steigung an jedem Punkt liefert. Mit der Ableitung kannst du also schnell und einfach die Steigung einer Funktion berechnen.
Einfache Übungen mit Lösungen zur Steigung einer Funktion
Übung 1: Berechne die Steigung der Funktion f(x) = 3x + 2 an der Stelle x = 1.
Lösung: f'(x) = 3, also ist die Steigung an x = 1 gleich 3.
Übung 2: Bestimme die Steigung der Funktion f(x) = 2x2 + 5 an der Stelle x = 2.
Lösung: f'(x) = 4x. Für x = 2: f'(2) = 4 · 2 = 8.
Übung 3: Finde die Steigung der Funktion f(x) = -x + 7 an der Stelle x = 3.
Lösung: f'(x) = -1, also ist die Steigung an x = 3 gleich -1.
Übung 4: Berechne die Steigung der Funktion f(x) = x3 - 4x an der Stelle x = 1.
Lösung: f'(x) = 3x2 - 4. Für x = 1: f'(1) = 3 · 12 - 4 = -1.
Übung 5: Bestimme die Steigung der Funktion f(x) = 4x2 + 2x - 5 an der Stelle x = 0.
Lösung: f'(x) = 8x + 2. Für x = 0: f'(0) = 8 · 0 + 2 = 2.
Schwere Übungen mit Lösungen zur Steigung einer Funktion
Übung 6: Berechne die Steigung der Funktion f(x) = x4 - 2x3 + 5 an der Stelle x = 2.
Lösung:
Um die Steigung der Funktion zu berechnen, müssen wir zuerst die Ableitung f'(x) finden:
1. Die Ableitung f'(x) wird durch die Potenzregel berechnet:
- f'(x) = 4x3 - 6x2
2. Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitung ein:
- f'(2) = 4 · (2)3 - 6 · (2)2 = 4 · 8 - 6 · 4 = 32 - 24 = 8.
Die Steigung der Funktion an der Stelle x = 2 beträgt 8.
Übung 7: Bestimme die Steigung der Funktion f(x) = 5x3 - 3x + 1 an der Stelle x = 1.
Lösung:
1. Zuerst leiten wir die Funktion ab:
- f'(x) = 15x2 - 3
2. Dann setzen wir x = 1 in die Ableitung ein:
- f'(1) = 15 · (1)2 - 3 = 15 - 3 = 12.
Die Steigung der Funktion an der Stelle x = 1 beträgt 12.
Übung 8: Finde die Steigung der Funktion f(x) = -x2 + 4x - 7 an der Stelle x = 3.
Lösung:
1. Leite die Funktion ab:
- f'(x) = -2x + 4
2. Setze x = 3 in die Ableitung ein:
- f'(3) = -2 · 3 + 4 = -6 + 4 = -2.
Die Steigung der Funktion an der Stelle x = 3 beträgt -2.
Übung 9: Berechne die Steigung der Funktion f(x) = 4/x2 + 2 an der Stelle x = 1 (Tipp: Schreibe f(x) als 4x-2 + 2).
Lösung:
1. Zuerst schreiben wir die Funktion als f(x) = 4x-2 + 2. Jetzt leiten wir die Funktion ab:
- f'(x) = -8x-3
2. Setze x = 1 in die Ableitung ein:
- f'(1) = -8 · (1)-3 = -8 · 1 = -8.
Die Steigung der Funktion an der Stelle x = 1 beträgt -8.
Übung 10: Bestimme die Steigung der Funktion f(x) = sin(x) + cos(x) an der Stelle x = π/4.
Lösung:
1. Leite die Funktion ab:
- f'(x) = cos(x) - sin(x)
2. Setze x = π/4 in die Ableitung ein:
- f'(π/4) = cos(π/4) - sin(π/4) = √2/2 - √2/2 = 0.
Die Steigung der Funktion an der Stelle x = π/4 beträgt 0.
